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<!DOCTYPE html>

<title>Deviator</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Deviator</h1>

</header>

</div>

Deviatoren oder deviatorische Tensoren (<a href="Lateinische_Sprache" class="mw-redirect" title="Lateinische Sprache">lateinisch</a> Abweichler) sind in der <a href="Kontinuumsmechanik" title="Kontinuumsmechanik">Kontinuumsmechanik</a> <a href="Tensor" title="Tensor">Tensoren</a> zweiter Stufe, deren <a href="Spur_(Mathematik)" title="Spur (Mathematik)">Spur</a> verschwindet. Tensoren zweiter Stufe werden hier als lineare Abbildungen von geometrischen Vektoren auf geometrische Vektoren benutzt, die im Allgemeinen dabei gedreht und gestreckt werden, siehe Abbildung rechts.

Von besonderer Bedeutung sind die <a href="Verzerrungstensor" title="Verzerrungstensor">Verzerrungstensoren</a>, die die <a href="Dehnung" title="Dehnung">Dehnung</a>, <a href="Stauchung" title="Stauchung">Stauchung</a> und <a href="Scherung_(Mechanik)" title="Scherung (Mechanik)">Scherung</a> von materiellen Linien und Flächen in einem Körper bei einer Deformation beschreiben. Die Verzerrungstensoren besitzen eine „Spur“ genannte Kennziffer (<a href="Hauptinvariante" title="Hauptinvariante">Hauptinvariante</a>), die ein Maß für die <a href="Volumendehnung" title="Volumendehnung">Volumendehnung</a> am Ort ihres Auftretens ist und zwar in der Art, dass sie verschwindet, wenn keine Volumendehnung vorliegt. Der spurfreie Anteil des Verzerrungstensors, sein Deviator, beschreibt (in der linearisierten Theorie) also den volumenerhaltenden, gestaltändernden Anteil der Deformation eines Körpers. Ebenso beschreibt in der <a href="Str%C3%B6mungsmechanik" title="Strömungsmechanik">Strömungsmechanik</a> der deviatorische Anteil des <a href="Geschwindigkeitsgradient" title="Geschwindigkeitsgradient">Geschwindigkeitsgradienten</a> den quellenfreien Anteil der Strömung.

Ein anderes Anwendungsgebiet von Deviatoren liegt in der <a href="Plastizit%C3%A4tstheorie" title="Plastizitätstheorie">Plastizitätstheorie</a>. Bei vielen Metallen beobachtet man, dass sie unter allseitigem, hydrostatischem Druck nicht plastisch fließen oder, anders ausgedrückt, das plastische Fließen nur von den vom hydrostatischen Anteil befreiten Spannungen getrieben wird. Der deviatorische Anteil eines Tensors ist gerade der Teil, der übrig bleibt, wenn sein <a href="Kugeltensor" title="Kugeltensor">hydrostatischer Anteil</a> abgezogen wird.

Mit Deviatoren kann also das Materialverhalten unter volumenerhaltenden, gestaltändernden Bedingungen modelliert werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Deviatoren sind Tensoren zweiter Stufe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {T} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {T} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9593e3b995a1b57c078873a5ea186c7012e1a5ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.859ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {T} }" loading="lazy">, deren Spur „Sp“ verschwindet:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {T} :\quad \mathrm {Sp} (\mathbf {T} )=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d5a4ee4208f48f866147600bd883e303612dc94a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.633ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {T} :\quad \mathrm {Sp} (\mathbf {T} )=0}" loading="lazy">.</dd></dl>

Der deviatorische Anteil wird mit einem hochgestellten „D“ oder „dev“ bezeichnet:

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {dev} (\mathbf {T} )=\mathbf {T} ^{\rm {D}}=\mathbf {T} ^{\mathrm {dev} }:=\mathbf {T} -{\frac {\mathrm {Sp} (\mathbf {T} )}{\mathrm {Sp} (\mathbf {1} )}}\mathbf {1} =\mathbf {T} -{\frac {\mathrm {Sp} (\mathbf {T} )}{3}}\mathbf {1} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/728a5beaa243b39c0ca41584d4c7163c6aa3f9e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:54.464ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {dev} (\mathbf {T} )=\mathbf {T} ^{\rm {D}}=\mathbf {T} ^{\mathrm {dev} }:=\mathbf {T} -{\frac {\mathrm {Sp} (\mathbf {T} )}{\mathrm {Sp} (\mathbf {1} )}}\mathbf {1} =\mathbf {T} -{\frac {\mathrm {Sp} (\mathbf {T} )}{3}}\mathbf {1} }" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Spur des <a href="Einheitstensor" title="Einheitstensor">Einheitstensors</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {1} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {1} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/235ffc0f1788b720aef5caa7b97246a84421fd0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.337ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {1} }" loading="lazy"> ist gleich der Dimension des zugrunde gelegten Raumes, hier und im Folgenden gleich drei.

Der Subtrahend

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {Sp} (\mathbf {T} )}{3}}\mathbf {1} =:\mathbf {T} ^{\mathrm {K} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a65f57471f5efddae4d6e5c5c51934bcefa4612.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.542ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {Sp} (\mathbf {T} )}{3}}\mathbf {1} =:\mathbf {T} ^{\mathrm {K} }}" loading="lazy">

ist der <a href="Kugeltensor" title="Kugeltensor">Kugelanteil</a> des Tensors <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {T} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {T} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9593e3b995a1b57c078873a5ea186c7012e1a5ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.859ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {T} }" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zerlegung_in_Deviator_und_Kugelanteil">Zerlegung in Deviator und Kugelanteil</h3></div>

Die in der Definition angedeutete Zerlegung in Deviator und Kugelanteil ist in der <a href="Festigkeitslehre" title="Festigkeitslehre">Festigkeitslehre</a> und <a href="Fluidmechanik" class="mw-redirect" title="Fluidmechanik">Fluidmechanik</a> häufig anzutreffen, insbesondere beim <a href="Spannungstensor" title="Spannungstensor">Spannungstensor</a>:<a href="#cite_note-1">[1]</a>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{m}\mathbf {1} +{\boldsymbol {\sigma }}^{\rm {D}},\quad \sigma _{m}={\frac {\mathrm {Sp} ({\boldsymbol {\sigma }})}{3}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d00b53ca60cb2d62494044c99d0ec8228dbcd888.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:31.237ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{m}\mathbf {1} +{\boldsymbol {\sigma }}^{\rm {D}},\quad \sigma _{m}={\frac {\mathrm {Sp} ({\boldsymbol {\sigma }})}{3}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Kugelanteil σm1 modelliert den sogenannten hydrostatischen <a href="Spannungszustand" title="Spannungszustand">Spannungszustand</a>, dem Materialien ohne Schaden zu nehmen in hohem Maß widerstehen können. Nach der <a href="Gestalt%C3%A4nderungshypothese" class="mw-redirect" title="Gestaltänderungshypothese">Gestaltänderungshypothese</a> wird die Schädigung eines isotropen Materials vom <a href="Spannungsdeviator" title="Spannungsdeviator">Spannungsdeviator</a> getrieben, dessen Betrag proportional zur von-Mises-<a href="Vergleichsspannung" title="Vergleichsspannung">Vergleichsspannung</a> ist.<a href="#cite_note-2">[2]</a>

Deviatoren und Kugelanteile sind <a href="Orthogonalit%C3%A4t" title="Orthogonalität">orthogonal</a> zueinander:

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k\mathbf {1} \colon {\boldsymbol {\sigma }}^{\rm {D}}=k\mathbf {1} \colon \left({\boldsymbol {\sigma }}-\sigma _{m}\mathbf {1} \right)=k\mathrm {Sp} ({\boldsymbol {\sigma }})-3k\sigma _{m}=0\quad \forall k\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fecda6215016f1a0fce9265739161ad55b31bd23.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:56.049ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle k\mathbf {1} \colon {\boldsymbol {\sigma }}^{\rm {D}}=k\mathbf {1} \colon \left({\boldsymbol {\sigma }}-\sigma _{m}\mathbf {1} \right)=k\mathrm {Sp} ({\boldsymbol {\sigma }})-3k\sigma _{m}=0\quad \forall k\in \mathbb {R} }" loading="lazy"></dd></dl>

Der Doppelpunkt „:“ bildet das <a href="Frobenius-Skalarprodukt" title="Frobenius-Skalarprodukt">Frobenius-Skalarprodukt</a> zweier Tensoren A und B gemäß A : B := Sp(A T ·  B) mittels der <a href="Spur_(Mathematik)" title="Spur (Mathematik)">Spur</a> und daher 1 : σ = Sp(σ) sowie 1 : 1 = 3. Siehe auch <a href="#Invarianten_von_Deviatoren">#Invarianten von Deviatoren</a>.

Statt der mittleren Normalspannung σm wird in der Fluidmechanik der <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a> p = -σm verwendet, sodass

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {1} +{\boldsymbol {\sigma }}^{\rm {D}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8616556af069c2dc26437af523d88e1afe06cb75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.93ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {1} +{\boldsymbol {\sigma }}^{\rm {D}}}" loading="lazy"></dd></dl>

entsteht.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Flächen_im_Eigenwertraum">Flächen im Eigenwertraum</h3></div>

Betrachtet werden <a href="Symmetrische_Matrix" title="Symmetrische Matrix">symmetrische</a> Tensoren zweiter Stufe. Diese haben drei reelle <a href="Eigenwertproblem" class="mw-redirect" title="Eigenwertproblem">Eigenwerte</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda _{1,2,3}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{1,2,3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a778b0288d979c9ac3db5a2191d3d4d014d64f2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.968ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{1,2,3}}" loading="lazy"> und stellen im Eigenwertraum (der Raum, in dem die Eigenwerte auf den drei Koordinatenachsen aufgetragen werden) einen Punkt dar.

Mit der Gleichung

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel =C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d22326731ebc9fd1e869a1b31b25eee04cf7ced.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.537ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel =C}" loading="lazy"></dd></dl>

wird mit einem Flächenparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"> eine <a href="Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Fläche</a> in diesem drei-dimensionalen Eigenwertraum definiert, siehe Abbildung rechts. Diese Fläche hat die Form eines (unendlich langen) Zylinders, der Parallel zur hydrostatischen Achse

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0825add6c66cc060f5a1a330574048fd88501672.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.425ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{3}}" loading="lazy"></dd></dl>

ausgerichtet ist. Wegen

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Sp} (\mathbf {T} )=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8409afb26411a69e7c4243b11bd42c5aef45428f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:22.261ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Sp} (\mathbf {T} )=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}" loading="lazy"></dd></dl>

liegen alle Deviatoren in der deviatorischen Ebene

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6967a964484cd7cf7077e64fb1fff53891a842bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.17ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=0}" loading="lazy">,</dd></dl>

deren <a href="Normalenvektor" title="Normalenvektor">Normale</a> die hydrostatische Achse ist. Die Normalen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {N} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {N} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c2f63b6cd6d63ee9b7be0b7e4d14099d7153bd43.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.091ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {N} }" loading="lazy"> an die Fläche <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel =C}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel =C}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3d22326731ebc9fd1e869a1b31b25eee04cf7ced.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.537ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel =C}" loading="lazy"> liegen in Ebenen, die zur deviatorischen Ebene parallel sind, weswegen die Normalen ebenfalls deviatorisch sind. Das berechnet sich auch aus der Ableitung<a href="#cite_note-Frechet-3">[3]</a>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \mathbf {T} }}\parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel ={\frac {\mathbf {T} ^{\rm {D}}}{\parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d2a9fa6a1f0f0f697630aaf9f87737afe7bf4154.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:25.747ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \mathbf {T} }}\parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel ={\frac {\mathbf {T} ^{\rm {D}}}{\parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel }}}" loading="lazy">,</dd></dl>

weil die Normalen genau dieser Ableitung entsprechen.

Eine Fläche dieses Typs ist die Fließortfläche in der J2-<a href="Plastizit%C3%A4tstheorie" title="Plastizitätstheorie">Plastizitätstheorie</a><a href="#cite_note-plast-4">[4]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{v}:={\sqrt {\frac {3}{2}}}\parallel {\boldsymbol {\sigma }}^{\rm {D}}\parallel =k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/930048dd62e9a2cb9d0a09027b4ce3ccac4f5224.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.432ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{v}:={\sqrt {\frac {3}{2}}}\parallel {\boldsymbol {\sigma }}^{\rm {D}}\parallel =k}" loading="lazy">.</dd></dl>

Der Flächenparameter <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> ist die isotrope Verfestigung, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e45fe1b9d8dcbc3103fc7805d69798bfe5ca5b16.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.594ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}" loading="lazy"> der (symmetrische) <a href="Spannungstensor" title="Spannungstensor">Spannungstensor</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma _{v}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{v}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29532e0ac5aec48c0a3dbe9877f25ab99db94348.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.357ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{v}}" loading="lazy"> die von Mises <a href="Vergleichsspannung" title="Vergleichsspannung">Vergleichsspannung</a>. Im einachsigen Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma {\hat {e}}_{1}\otimes {\hat {e}}_{1}}">

</mrow>

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mover>

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</mrow>

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma {\hat {e}}_{1}\otimes {\hat {e}}_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa0689b904d567c0d31aa712fde4962e945ad427.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.555ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma {\hat {e}}_{1}\otimes {\hat {e}}_{1}}" loading="lazy"> ist

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sigma _{v}={\sqrt {\frac {3}{2}}}\parallel {\boldsymbol {\sigma }}^{\rm {D}}\parallel =|\sigma |}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ab5d195defb06869c0ad84c0dff30622f1c70e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.197ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \sigma _{v}={\sqrt {\frac {3}{2}}}\parallel {\boldsymbol {\sigma }}^{\rm {D}}\parallel =|\sigma |}" loading="lazy"></dd></dl>

und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"> modelliert die <a href="Flie%C3%9Fspannung" title="Fließspannung">Fließspannung</a>.

Die hydrostatische Achse wird vom Einheitstensor und den <a href="Kugeltensor" title="Kugeltensor">Kugeltensoren</a> gebildet.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Invarianten_von_Deviatoren">Invarianten von Deviatoren</h3></div>

Die drei <a href="Hauptinvariante" title="Hauptinvariante">Hauptinvarianten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {I} _{1,2,3}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {I} _{1,2,3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd0507d0a624a7e42032f9684e324e501458b389.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.453ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {I} _{1,2,3}}" loading="lazy"> eines Deviators lauten

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} ^{\rm {D}}):=&0\\\mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} ^{\rm {D}})=&-{\frac {1}{2}}\mathrm {Sp} (\mathbf {T} ^{\rm {D}}\cdot \mathbf {T} ^{\rm {D}})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&{\frac {\mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} )^{2}}{6}}-{\frac {\mathrm {Sp} (\mathbf {T} ^{2})}{2}}\\\mathrm {I} _{3}(\mathbf {T} ^{\rm {D}})=&{\frac {1}{3}}\operatorname {Sp} (\mathbf {T} ^{\rm {D}}\cdot \mathbf {T} ^{\rm {D}}\cdot \mathbf {T} ^{\rm {D}})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&{\frac {2\mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} )^{3}}{27}}-{\frac {I_{1}(\mathbf {T} )I_{2}(\mathbf {T} )}{3}}+I_{3}(\mathbf {T} )\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0298a4a3c23a26e917b34beda931883851030d46.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -7.171ex; width:66.033ex; height:15.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} ^{\rm {D}}):=&0\\\mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} ^{\rm {D}})=&-{\frac {1}{2}}\mathrm {Sp} (\mathbf {T} ^{\rm {D}}\cdot \mathbf {T} ^{\rm {D}})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&{\frac {\mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} )^{2}}{6}}-{\frac {\mathrm {Sp} (\mathbf {T} ^{2})}{2}}\\\mathrm {I} _{3}(\mathbf {T} ^{\rm {D}})=&{\frac {1}{3}}\operatorname {Sp} (\mathbf {T} ^{\rm {D}}\cdot \mathbf {T} ^{\rm {D}}\cdot \mathbf {T} ^{\rm {D}})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&{\frac {2\mathrm {I} _{1}(\mathbf {T} )^{3}}{27}}-{\frac {I_{1}(\mathbf {T} )I_{2}(\mathbf {T} )}{3}}+I_{3}(\mathbf {T} )\end{aligned}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Der Operator <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {det} }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {det} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b07c0aa626511a8d013ee84b7d25a2de8d47b9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.23ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {det} }" loading="lazy"> gibt die <a href="Determinante" title="Determinante">Determinante</a> seines Argumentes. Der Betrag oder <a href="Frobeniusnorm" title="Frobeniusnorm">Frobeniusnorm</a> eines Deviators berechnet sich mit dem <a href="Frobenius-Skalarprodukt" title="Frobenius-Skalarprodukt">Frobenius-Skalarprodukt</a> „:“ zu

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel ={\sqrt {\mathbf {T} ^{\rm {D}}:\mathbf {T} ^{\rm {D}}}}={\sqrt {\mathbf {T} :\mathbf {T} -{\frac {1}{3}}\mathrm {Sp} (\mathbf {T} )^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67d769a35468b76f4b2cab050aab8cb647f0ee50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:42.95ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel ={\sqrt {\mathbf {T} ^{\rm {D}}:\mathbf {T} ^{\rm {D}}}}={\sqrt {\mathbf {T} :\mathbf {T} -{\frac {1}{3}}\mathrm {Sp} (\mathbf {T} )^{2}}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

woraus

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</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \parallel \mathbf {T} \parallel ^{2}=\parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel ^{2}+{\begin{Vmatrix}{\frac {{\text{Sp}}(\mathbf {T} )}{3}}\mathbf {1} \end{Vmatrix}}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b69c168f60c36470e77a1f7d39376465277c7d1f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:28.887ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \parallel \mathbf {T} \parallel ^{2}=\parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel ^{2}+{\begin{Vmatrix}{\frac {{\text{Sp}}(\mathbf {T} )}{3}}\mathbf {1} \end{Vmatrix}}^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

folgt. Drei Strecken mit den Längen der Beträge eines Tensors, seines Deviators und seines Kugelanteils bilden also ein <a href="Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">rechtwinkliges Dreieck</a>.

Bei einem symmetrischen Tensor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {T} ^{\mathrm {T} }}">

</mrow>

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {T} ^{\mathrm {T} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f36fb2043e34dce7ea3e557fd72e44f7693f804.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.236ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {T} ^{\mathrm {T} }}" loading="lazy"> ist auch dessen Deviator symmetrisch und für dessen Frobeniusnorm ergibt sich:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel :={\sqrt {\mathbf {T} ^{\rm {D}}:\mathbf {T} ^{\rm {D}}}}={\sqrt {-2\mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} ^{\rm {D}})}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0ca3562ea223cfd11735297158e0469235a64ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:35.815ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel :={\sqrt {\mathbf {T} ^{\rm {D}}:\mathbf {T} ^{\rm {D}}}}={\sqrt {-2\mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} ^{\rm {D}})}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Wenn der Tensor die Darstellung

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i,j=1}^{3}T_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45dc4e192aa9515d304e290a2cf35c9da88976e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:19.115ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {T} =\sum _{i,j=1}^{3}T_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit Komponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{ij}\in \mathbb {R} }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{ij}\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/41383c416b3f23bcf6d465f4af43abf762683ed8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.353ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle T_{ij}\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> bezüglich der <a href="Standardbasis" title="Standardbasis">Standardbasis</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {e}}_{1,2,3}}">

<msub>

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</mrow>

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</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {e}}_{1,2,3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91ec2fd7cc46b4427cfd09bab244026d27d81519.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:4.905ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {e}}_{1,2,3}}" loading="lazy"> des <a href="Pr%C3%A4hilbertraum" title="Prähilbertraum">euklidischen Vektorraums</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {V} ^{3}}">

<msup>

</mrow>

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</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {V} ^{3}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a458f6c9ca144bd96fc4b28948f0769bc9ca66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.732ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {V} ^{3}}" loading="lazy"> besitzt, dann berechnen sich

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</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{\rm {D}}=&{\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}T_{11}-{\frac {1}{3}}T_{22}-{\frac {1}{3}}T_{33}&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&{\frac {2}{3}}T_{22}-{\frac {1}{3}}T_{11}-{\frac {1}{3}}T_{33}&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&{\frac {2}{3}}T_{33}-{\frac {1}{3}}T_{11}-{\frac {1}{3}}T_{22}\end{pmatrix}}\\\mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} ^{\rm {D}})=&{\frac {1}{3}}(T_{11}T_{22}+T_{11}T_{33}+T_{22}T_{33}-T_{11}^{2}-T_{22}^{2}-T_{33}^{2})-T_{12}T_{21}-T_{13}T_{31}-T_{23}T_{32}\\\operatorname {det} (\mathbf {T} ^{\rm {D}})=&{\frac {1}{27}}[12T_{11}T_{22}T_{33}+2(T_{11}^{3}+T_{22}^{3}+T_{33}^{3})-3T_{11}^{2}(T_{22}+T_{33})-3T_{22}^{2}(T_{11}+T_{33})-3T_{33}^{2}(T_{11}+T_{22})]\\&-{\frac {1}{3}}[(2T_{11}-T_{22}-T_{33})T_{23}T_{32}+(2T_{33}-T_{11}-T_{22})T_{12}T_{21}+(2T_{22}-T_{11}-T_{33})T_{13}T_{31}]\\&+T_{13}T_{32}T_{21}+T_{12}T_{23}T_{31}\\\parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel =&{\sqrt {{\frac {2}{3}}(T_{11}^{2}+T_{22}^{2}+T_{33}^{2}-T_{11}T_{22}-T_{11}T_{33}-T_{22}T_{33})+T_{12}^{2}+T_{21}^{2}+T_{13}^{2}+T_{31}^{2}+T_{23}^{2}+T_{32}^{2}}}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/08d96e1beaded9ebd64bc1e32300f0c274dc44d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -18.171ex; width:104.327ex; height:37.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{\rm {D}}=&{\begin{pmatrix}{\frac {2}{3}}T_{11}-{\frac {1}{3}}T_{22}-{\frac {1}{3}}T_{33}&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&{\frac {2}{3}}T_{22}-{\frac {1}{3}}T_{11}-{\frac {1}{3}}T_{33}&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&{\frac {2}{3}}T_{33}-{\frac {1}{3}}T_{11}-{\frac {1}{3}}T_{22}\end{pmatrix}}\\\mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} ^{\rm {D}})=&{\frac {1}{3}}(T_{11}T_{22}+T_{11}T_{33}+T_{22}T_{33}-T_{11}^{2}-T_{22}^{2}-T_{33}^{2})-T_{12}T_{21}-T_{13}T_{31}-T_{23}T_{32}\\\operatorname {det} (\mathbf {T} ^{\rm {D}})=&{\frac {1}{27}}[12T_{11}T_{22}T_{33}+2(T_{11}^{3}+T_{22}^{3}+T_{33}^{3})-3T_{11}^{2}(T_{22}+T_{33})-3T_{22}^{2}(T_{11}+T_{33})-3T_{33}^{2}(T_{11}+T_{22})]\\&-{\frac {1}{3}}[(2T_{11}-T_{22}-T_{33})T_{23}T_{32}+(2T_{33}-T_{11}-T_{22})T_{12}T_{21}+(2T_{22}-T_{11}-T_{33})T_{13}T_{31}]\\&+T_{13}T_{32}T_{21}+T_{12}T_{23}T_{31}\\\parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel =&{\sqrt {{\frac {2}{3}}(T_{11}^{2}+T_{22}^{2}+T_{33}^{2}-T_{11}T_{22}-T_{11}T_{33}-T_{22}T_{33})+T_{12}^{2}+T_{21}^{2}+T_{13}^{2}+T_{31}^{2}+T_{23}^{2}+T_{32}^{2}}}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Deviatoren_und_Volumendehnung">Deviatoren und Volumendehnung</h3></div>

Bei der Streckung eines Körpers der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"> auf die Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle l}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle l}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/829091f745070b9eb97a80244129025440a1cfac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.693ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle l}" loading="lazy"> ist die <a href="Dehnung" title="Dehnung">Dehnung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.083ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon }" loading="lazy"> als das Längenverhältnis

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon ={\frac {l-L}{L}}\quad \leftrightarrow \quad l=L(1+\varepsilon )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a6b590a38c987018bec576f12086681192521f6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:30.664ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon ={\frac {l-L}{L}}\quad \leftrightarrow \quad l=L(1+\varepsilon )}" loading="lazy">.</dd></dl>

definiert. Bei der Verformung eines Quaders der Länge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy">, Breite <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"> und Höhe <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"> in x-, y- und z-Richtung (und daher Volumen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V=LBH}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V=LBH}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/699c36cd8fca1d296918a95f681a53bbdd5239ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.296ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V=LBH}" loading="lazy">) ergeben sich analog Dehnungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{x},\varepsilon _{y}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{x},\varepsilon _{y}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9d9ae021092cb88fd0a801a8666c3dfdaca436d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:5.423ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{x},\varepsilon _{y}}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon _{z}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon _{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/df56045777a3d3129a56490d7103db401d5b16d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.085ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon _{z}}" loading="lazy"> in x-, y- und z-Richtung, siehe Abbildung rechts. Das Volumen des Quaders nach der Deformation berechnet sich dann aus

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

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</mtr>

<mtr>

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<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{array}{rcl}v&=&L(1+\varepsilon _{x})B(1+\varepsilon _{y})H(1+\varepsilon _{z})\\&=&LBH+LBH\varepsilon _{x}+LBH\varepsilon _{y}+LBH\varepsilon _{z}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\\&=&V(1+\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z})+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\end{array}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec451d263c3c3bf6a8f9514ded7c325973d9b363.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:53.607ex; height:10.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{array}{rcl}v&=&L(1+\varepsilon _{x})B(1+\varepsilon _{y})H(1+\varepsilon _{z})\\&=&LBH+LBH\varepsilon _{x}+LBH\varepsilon _{y}+LBH\varepsilon _{z}+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\\&=&V(1+\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z})+{\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})\end{array}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Das <a href="Landau-Symbole" title="Landau-Symbole">Landau-Symbol</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e254d5ac25796830898487d4a0de1153efd90c25.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.797ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathcal {O}}(\varepsilon ^{2})}" loading="lazy"> steht für Terme, die mindestens quadratisch in den Dehnungen sind und die bei kleinen Dehnungen vernachlässigt werden können. Die Summe der Dehnungen in x-, y- und z-Richtung ist die Spur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {Sp} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {Sp} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b89cef03660ff1ddca7d81ed43405acfde191cf7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.585ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {Sp} }" loading="lazy"> des linearisierten Verzerrungstensors

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

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<mtd>

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</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

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</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{x}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{y}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{yz}&\varepsilon _{z}\end{pmatrix}}\rightarrow \mathrm {Sp} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6dcf550f4d5d21fa9e959d10a936713344ee0485.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:47.455ex; height:9.843ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{x}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{y}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{yz}&\varepsilon _{z}\end{pmatrix}}\rightarrow \mathrm {Sp} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z}}" loading="lazy"></dd></dl>

und deshalb ergibt sich aus <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle v=V(1+\mathrm {Sp} ({\boldsymbol {\varepsilon }}))}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle v=V(1+\mathrm {Sp} ({\boldsymbol {\varepsilon }}))}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c295fdf3a2ff405ddc2c1d7f4ddea418072070b5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.45ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle v=V(1+\mathrm {Sp} ({\boldsymbol {\varepsilon }}))}" loading="lazy"> die <a href="Volumendehnung" title="Volumendehnung">Volumendehnung</a>:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {v-V}{V}}=\mathrm {Sp} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b0c85c482e700b76a0f420d4e8baa08e300966cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:15.314ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {v-V}{V}}=\mathrm {Sp} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}" loading="lazy">.</dd></dl>

Bei großen Verformungen findet sich der Zusammenhang

<mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln \left({\frac {v}{V}}\right)=\mathrm {Sp} (\mathbf {E} _{H})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/80877242e7eba513c8c49c344dcc81ad8b49e65c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:18.28ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \ln \left({\frac {v}{V}}\right)=\mathrm {Sp} (\mathbf {E} _{H})}" loading="lazy"></dd></dl>

zwischen dem <a href="Nat%C3%BCrlicher_Logarithmus" class="mw-redirect" title="Natürlicher Logarithmus">natürlichen Logarithmus</a> des Volumenverhältnisses und der Spur des <a href="Verzerrungstensor" title="Verzerrungstensor">Henky Verzerrungstensors</a>.

Wenn die Spuren der Verzerrungstensoren <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8445af5ff7da70714382bc35e78bedcacf68e825.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}" loading="lazy"> oder <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {E} _{H}}">

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {E} _{H}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03e249c3fbdd6804a421fe62d2f49bb655c83f64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.448ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {E} _{H}}" loading="lazy"> bei kleinen bzw. großen Verformungen verschwinden, sie deviatorisch sind, liegt also keine Volumendehnung am Ort ihres Auftretens vor. Umgekehrt beschreiben die Deviatoren dieser Verzerrungstensoren den volumenerhaltenden, gestaltändernden Teil der Deformation und können somit für die Modellierung des Materialverhaltens unter diesen Bedingungen eingesetzt werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Deviator_des_Geschwindigkeitsgradienten">Deviator des Geschwindigkeitsgradienten</h3></div>

Der <a href="Geschwindigkeitsgradient" title="Geschwindigkeitsgradient">Geschwindigkeitsgradient</a> l ist der <a href="Vektorgradient" title="Vektorgradient">Vektorgradient</a> des <a href="Geschwindigkeit" title="Geschwindigkeit">Geschwindigkeits</a>feldes. Eine in der <a href="Str%C3%B6mungsmechanik" title="Strömungsmechanik">Strömungsmechanik</a> wichtige Eigenschaft des Feldes ist die Quellendichte oder <a href="Divergenz_eines_Vektorfeldes" title="Divergenz eines Vektorfeldes">Divergenz des Feldes</a>, die an jedem Punkt angibt, wie sehr die Vektoren in einer kleinen Umgebung eines Punktes auseinanderstreben (<a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a> divergere). Mathematisch lässt sich das als

</mrow>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathrm {d} V{\dot {)\;}}=\mathrm {Sp} (\mathbf {l} )\mathrm {d} V=(\nabla \cdot {\vec {v}})\mathrm {d} V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8204023f5c4d5c9fc1efa9a1246f2cea51f849.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.627ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (\mathrm {d} V{\dot {)\;}}=\mathrm {Sp} (\mathbf {l} )\mathrm {d} V=(\nabla \cdot {\vec {v}})\mathrm {d} V}" loading="lazy"></dd></dl>

schreiben. Darin ist dV ein von Teilchen eingenommenes (infinitesimal) kleines Volumen, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathrm {d} V{\dot {)\;}}}">

</mrow>

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathrm {d} V{\dot {)\;}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/461199d64905386c1dabc816f6fb784f3b002afb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.534ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (\mathrm {d} V{\dot {)\;}}}" loading="lazy"> dessen <a href="Zeitableitung" title="Zeitableitung">Zeitableitung</a> also Expansionsrate und 𝜵 der <a href="Nabla-Operator" title="Nabla-Operator">Nabla-Operator</a>, dessen (formales) <a href="Skalarprodukt" title="Skalarprodukt">Skalarprodukt</a> „·“ mit dem Geschwindigkeitsfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {v}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {v}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/85820588abd7333ef4d0c56539cb31c20e730753.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.175ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}}" loading="lazy"> dessen Divergenz ergibt. Wenn der Geschwindigkeitsgradient deviatorisch also spurfrei ist, dann ist das <a href="Geschwindigkeitsfeld" title="Geschwindigkeitsfeld">Geschwindigkeitsfeld</a> quellenfrei.

Gleiches gilt für den Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d, der der <a href="Symmetrische_Matrix#Symmetrische_Tensoren" title="Symmetrische Matrix">symmetrische Anteil</a> des Geschwindigkeitsgradienten ist. Der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor wird in <a href="Materialmodell" title="Materialmodell">Materialmodellen</a> von <a href="Fluid" title="Fluid">Fluiden</a>, also Flüssigkeiten und Gasen, eingesetzt. Mit seinem deviatorischen Anteil wird der quellenfreie Anteil der Strömung modelliert, beispielsweise im <a href="Newtonsches_Fluid" title="Newtonsches Fluid">newtonschen Fluid</a>:<a href="#cite_note-5">[5]</a>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {1} +\zeta \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\mathbf {1} +2\mu \mathbf {d} ^{\rm {D}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8639a692dba118c97a0e1d0df18a43cf683ac9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.924ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {1} +\zeta \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\mathbf {1} +2\mu \mathbf {d} ^{\rm {D}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Darin bezeichnet σ den Cauchy’schen <a href="Spannungstensor" title="Spannungstensor">Spannungstensor</a>, p den thermodynamischen, statischen <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a>, ζ die <a href="Volumenviskosit%C3%A4t" title="Volumenviskosität">Volumenviskosität</a> und μ die <a href="Scherviskosit%C3%A4t" class="mw-redirect" title="Scherviskosität">Scherviskosität</a>. Der zweite und dritte Term modellieren die <a href="Viskosit%C3%A4t" title="Viskosität">Viskosität</a> des Fluids, d. h. die Spannungen, die von der Viskosität des Fluids verursacht sind und die nur im Ungleichgewicht auftreten, also solange das Fluid in Bewegung ist. Der zweite Term steht für allseitige divergenzproportionale <a href="Normalspannung" class="mw-redirect" title="Normalspannung">Normalspannungen</a> aufgrund von Kompression oder Expansion und der dritte für <a href="Spannung_(Mechanik)" class="mw-redirect" title="Spannung (Mechanik)">Spannungen</a> im divergenzfreien Anteil des Strömungsfeldes. Aus diesem Materialmodell leiten sich die <a href="Navier-Stokes-Gleichungen#Herleitung_der_Impulsgleichung" title="Navier-Stokes-Gleichungen">Navier-Stokes-Gleichungen</a> ab.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Deviatorische_Verzerrungsgeschwindigkeit">Deviatorische Verzerrungsgeschwindigkeit</h3></div>

Eine kleine Deformation, bei der die Rate des linearisierten <a href="Verzerrungstensor" title="Verzerrungstensor">Verzerrungstensors</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8445af5ff7da70714382bc35e78bedcacf68e825.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}" loading="lazy"> deviatorisch ist, ist volumenerhaltend, weil seine Spur ein Maß für die Kompression am Ort seines Auftretens ist. Dies gilt auch bei großen Deformationen, wenn die <a href="Euklidische_Transformation" title="Euklidische Transformation">kovariante Oldroyd Ableitung</a> des <a href="Verzerrungstensor" title="Verzerrungstensor">Euler-Almansi Verzerrungstensors</a>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\stackrel {\Delta }{\mathbf {e} }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {l} +\mathbf {l} ^{\mathrm {T} })\quad {\text{mit}}\quad \mathbf {l} ={\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e85ffb3e8e990eb049c283778201f202dda6b57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:33.369ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle {\stackrel {\Delta }{\mathbf {e} }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {l} +\mathbf {l} ^{\mathrm {T} })\quad {\text{mit}}\quad \mathbf {l} ={\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}}" loading="lazy"></dd></dl>

deviatorisch ist. Darin ist l der <a href="Geschwindigkeitsgradient" title="Geschwindigkeitsgradient">Geschwindigkeitsgradient</a>. Wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\stackrel {\Delta }{\mathbf {e} }}}">

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\stackrel {\Delta }{\mathbf {e} }}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/60a780b8e7fbb76ee00233779b815fe749f27f87.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.369ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle {\stackrel {\Delta }{\mathbf {e} }}}" loading="lazy"> deviatorisch ist, ist die Deformation volumenerhaltend, denn dann verschwindet wegen

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mover>

</mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\mathrm {Sp} ({\stackrel {\Delta }{\mathbf {e} }})=\mathrm {Sp} (\mathbf {l} )=\mathrm {Sp} ({\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=:&\mathbf {F} ^{\mathrm {T} -1}:{\dot {\mathbf {F} }}\\\rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathrm {det} (\mathbf {F} )=&\mathrm {det} (\mathbf {F} )\mathbf {F} ^{\mathrm {T} -1}:{\dot {\mathbf {F} }}=\mathrm {det} (\mathbf {F} )\mathrm {Sp} ({\stackrel {\Delta }{\mathbf {e} }})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&0\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36fa69dda921ac66f2edad1f7882f13d368cea32.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.961ex; margin-bottom: -0.21ex; width:59.041ex; height:9.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\mathrm {Sp} ({\stackrel {\Delta }{\mathbf {e} }})=\mathrm {Sp} (\mathbf {l} )=\mathrm {Sp} ({\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=:&\mathbf {F} ^{\mathrm {T} -1}:{\dot {\mathbf {F} }}\\\rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathrm {det} (\mathbf {F} )=&\mathrm {det} (\mathbf {F} )\mathbf {F} ^{\mathrm {T} -1}:{\dot {\mathbf {F} }}=\mathrm {det} (\mathbf {F} )\mathrm {Sp} ({\stackrel {\Delta }{\mathbf {e} }})\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&=&0\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

die Zeitableitung der <a href="Determinante" title="Determinante">Determinante</a> „det“ des <a href="Deformationsgradient" title="Deformationsgradient">Deformationsgradienten</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {F} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {F} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/da18bef8c979f3548bb0d8976f5844012d7b8256.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.683ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {F} }" loading="lazy">, siehe den Abschnitt „Ableitungen der Hauptinvarianten“ bei <a href="Hauptinvariante#Ableitungen_der_Hauptinvarianten" title="Hauptinvariante">Hauptinvariante</a>. Die Determinante des Deformationsgradienten ist gleich der Volumendehnung, die in diesem Fall zeitlich konstant ist.

Dies bewirkt in der J2-Plastizität<a href="#cite_note-plast-4">[4]</a>, in der die Rate der plastischen Dehnungen deviatorisch ist und die plastischen Dehnungen vom Euler-Almansi-Typ sind, dass die plastischen Dehnungen volumenerhaltend sind, was mit plastischer Inkompressibilität bezeichnet wird.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Harmonie_der_Bilinearform">Harmonie der Bilinearform</h2></div>

Die mit dem Ortsvektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {r}}:={\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}^{\top }}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {r}}:={\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}^{\top }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/179e37205050bf6672117d64e750f0e2ac0718bc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.258ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\vec {r}}:={\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}^{\top }}" loading="lazy"> und einem Deviator gebildete <a href="Bilinearform" title="Bilinearform">Bilinearform</a>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f({\vec {r}}):={\vec {r}}\cdot \mathbf {T} ^{\mathrm {D} }\cdot {\vec {r}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e1bb7e04ace5e0dad3f02adc8b12fa24d55757c6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.208ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f({\vec {r}}):={\vec {r}}\cdot \mathbf {T} ^{\mathrm {D} }\cdot {\vec {r}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ist eine <a href="Harmonische_Funktion" title="Harmonische Funktion">harmonische Funktion</a>:

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/683691c3a7dfec7a963a28f5ed211b1865188fbb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:29.817ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Denn nur die Diagonalglieder des Tensors gehen mit quadrierten Koeffizienten x, y oder z in f ein, weswegen der <a href="Laplace-Operator" title="Laplace-Operator">Laplace-Operator</a> 𝚫 die Summe der Diagonalglieder liefert, die bei einem Deviator <a href="Per_definitionem" class="mw-redirect" title="Per definitionem">per definitionem</a> null ist. Dieser Sachverhalt lässt sich problemlos auf höher dimensionale Räume verallgemeinern.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Formelsammlung_Tensoralgebra" title="Formelsammlung Tensoralgebra">Formelsammlung Tensoralgebra</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Fußnoten">Fußnoten</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> Greve (2003), S. 90 f, Altenbach (2012), S. 149.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Altenbach (2012), S. 273.

</li>

<li id="cite_note-Frechet-3"><a href="#cite_ref-Frechet_3-0">↑</a> Die <a href="Fr%C3%A9chet-Ableitung" title="Fréchet-Ableitung">Fréchet-Ableitung</a> einer skalaren Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(\mathbf {T} )}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(\mathbf {T} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a23c54679dd35f3d85a0c49ebe9e80c45ab2d87d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.947ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(\mathbf {T} )}" loading="lazy"> nach einem Tensor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {T} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {T} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9593e3b995a1b57c078873a5ea186c7012e1a5ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.859ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {T} }" loading="lazy">

ist der Tensor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbf {A} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {A} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0795cc96c75d81520a120482662b90f024c9a1a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.019ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {A} }" loading="lazy"> für den – sofern er existiert – gilt:

</mrow>

</mrow>

<msub>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {H} =\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}f(\mathbf {T} +s\mathbf {H} )\right|_{s=0}=\lim _{s\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {T} +s\mathbf {H} )-f(\mathbf {T} )}{s}}\quad \forall \;\mathbf {H} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc67d762a9992a7e0a390acfd075cdf4e08802ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:59.752ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {H} =\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}f(\mathbf {T} +s\mathbf {H} )\right|_{s=0}=\lim _{s\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {T} +s\mathbf {H} )-f(\mathbf {T} )}{s}}\quad \forall \;\mathbf {H} }" loading="lazy"></dd></dl>

Darin ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle s\in \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle s\in \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/36efff902c6854b1196e79dec095b31e0c6a8ee9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.609ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle s\in \mathbb {R} }" loading="lazy"> und ":" das <a href="Frobenius-Skalarprodukt" title="Frobenius-Skalarprodukt">Frobenius-Skalarprodukt</a>. Dann wird auch

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {T} }}=\mathbf {A} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/710684048f01795e32460d2156e6272786d3f07d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:9.131ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {T} }}=\mathbf {A} }" loading="lazy"></dd></dl>

geschrieben.

</li>

<li id="cite_note-plast-4">↑ <a href="#cite_ref-plast_4-0">a</a> <a href="#cite_ref-plast_4-1">b</a> Die zweite Hauptinvariante des Spannungsdeviators wird häufig mit J2 bezeichnet:

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathrm {J} }_{2}:=\mathrm {I} _{2}({\boldsymbol {\sigma }}^{\rm {D}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1375340d781842893038e9bed7c732cc37fae91b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.78ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\mathrm {J} }_{2}:=\mathrm {I} _{2}({\boldsymbol {\sigma }}^{\rm {D}})}" loading="lazy"></dd></dl>

und ist wegen

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msub>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel ={\sqrt {-2\mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} ^{\rm {D}})}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d2e71f90eb007ae2e846ef910a7abb555ae5426.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:21.115ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \parallel \mathbf {T} ^{\rm {D}}\parallel ={\sqrt {-2\mathrm {I} _{2}(\mathbf {T} ^{\rm {D}})}}}" loading="lazy"></dd></dl>

ein Maß für den <a href="Frobeniusnorm" title="Frobeniusnorm">Betrag</a> des Spannungsdeviators.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> Greve (2003), S. 164.

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>H. Altenbach: <cite style="font-style:italic">Kontinuumsmechanik</cite>. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, S. 36, 106, 119, 149.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Deviator&rft.au=H.+Altenbach&rft.btitle=Kontinuumsmechanik&rft.date=2012&rft.genre=book&rft.isbn=9783642241185&rft.pages=36%2C+106%2C+119%2C+149&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li>

<li>Ralf Greve: <cite style="font-style:italic">Kontinuumsmechanik</cite>. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 978-3-642-62463-6, S. 90 f., 98, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1007/978-3-642-55485-8">10.1007/978-3-642-55485-8</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.de/books?id=ZhcjBgAAQBAJ&pg=PA90#v=onepage">eingeschränkte Vorschau</a> in der Google-Buchsuche).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Deviator&rft.au=Ralf+Greve&rft.btitle=Kontinuumsmechanik&rft.date=2003&rft.doi=10.1007%2F978-3-642-55485-8&rft.genre=book&rft.isbn=9783642624636&rft.pages=90+f.%2C+98&rft.place=Berlin+u.+a.&rft.pub=Springer" style="display:none"> </li></ul></div><div><div class="zim-footer">

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